Une identité remarquable est une expression mathématique qui sert de base pour faire un calcul littéral. Les identités remarquables sont utiles notamment pour résoudre une équation. Ces formules mathématiques invariables entrent dans le programme scolaire secondaire. En mathématiques, ces expressions algébriques permettent de simplifier les calculs en tout genre.

Comment utilise-t-on les identités remarquables ? En quelle classe apprend-on ces formules mathématiques ? Comment justifier une identité remarquable ? Comment factoriser une expression ? Découvrez tout ce que vous devez savoir.

 

Quelles sont les 3 identités remarquables ?

Une identité remarquable ou égalité remarquable est une expression mathématiques constituée de nombres ou de fonctions polynomiales. Les égalités remarquables sont très utiles pour faire un calcul plus rapide.

L’utilisation de ces formules permet également de simplifier l’écriture de certaines équations, de faire une factorisation et développement d’expression mathématique, notamment pour résoudre les équations de second degré, afin de trouver les solutions exactes.

On peut distinguer 3 identités remarquables :

• La première égalité remarquable : (a+b)² = a² + 2ab + b² ;
• La deuxième égalité remarquable : (a-b)² = a² – 2ab + b² ; (a+b)²;
• La troisième égalité remarquable : (a+b) (a-b) = a² – b².

 

Que signifie le ² dit « CARRÉ » ?

Le carré d’un nombre est égal au nombre multiplié par lui-même.

Par exemple, 6² = 6 x 6 = 36, 11² = 11 x 11 = 121 et (a + b)² signifie (a + b) × (a + b).

Il faut retenir les identités remarques par cœur pour pouvoir les utiliser et s’en servir à tout moment.

Comment utiliser l’identité remarquable ?

Pour utiliser une identité remarquable, il suffit de remplacer les expressions littérales par des nombres ou un polynôme. Pour vous éclaircir, nous allons illustrer ces propos avec des exemples concis.

 

La première identité remarquable : (a+b)² = a² + 2ab + b²

Pour développer l’équation suivante (2x + 3)² , l’utilisation d’une méthode de calcul classique prendrait beaucoup de temps :

(2x + 3)² = (2x + 3) (2x + 3) = 4×2 + 6x + 6x + 9 = 4×2 + 12x + 9

En utilisant la première identité, le calcul est plus rapide avec un même résultat que vous pouvez constater par vous-même : 4×2 + (2 × 2x × 3) + 32 = 4×2 + 12x + 9.

La deuxième identité remarquable : (a-b)2 = a² – 2ab + b²

Pour le développement de l’équation : (3x – 4)2, il suffit d’appliquer l’équation y afférant, ce qui donne : 3×2 – (2 × 3x × 4) + 42 = 9×2 – 24x + 16.

La troisième identité remarquable : (a+b) (a-b) = a² – b²

Il en est de même pour la troisième et dernière égalité remarquable, pour résoudre l’équation suivante, utiliser la formule en changeant les valeurs de a et de b :

(2x + 3) (2x – 3) = (2x)2 – 32 = 4×2 – 9.

Les calculs ne sont pas bien compliqués. Vous n’avez qu’à retenir les expressions pour faire vos calculs plus rapidement.

Identités de Lagrange

Nous allons étudier les identités de Lagrange pour les binômes. En fait, ces identités sont très faciles à obtenir, comme nous le verrons dans les démonstrations, mais si nous connaissons les formules, qui sont très simples, nous pouvons accélérer le processus de calcul.

Pour les binômes, les identités de Lagrange sont les suivantes :

(a²+b²)⋅(x²+y²)=
=(ax+by)²+(ay-bx)²

Exemple:

$$({\mathrm{z²}}^{}+{\mathrm{2²}}^{})({\mathrm{z²}}^{}+{\mathrm{3²}}^{})=$$

$$=({\mathrm{z²}}^{}+6{)²}^{}+(3z-2z{)²}^{}$$

Nous avons identifié a = z , b = 2 , x = z , y = 3.

Si on développe les produits :

$$({\mathrm{a²}}^{}+{\mathrm{b²}}^{})\; ({\mathrm{x²}}^{}+{\mathrm{y²}}^{})=$$

$${=}^1{\mathrm{a²}}^{}{\mathrm{x²}}^{}+{\mathrm{a²}}^{}{\mathrm{y²}}^{}+$$

$$+{\mathrm{b²}}^{}{\mathrm{x²}}^{}+{\mathrm{b²}}^{}{\mathrm{y²}}^{}=$$

$${=}^2{\mathrm{a²}}^{}{\mathrm{x²}}^{}+{\mathrm{b²}}^{}{\mathrm{y²}}^{}+$$

$$+{\mathrm{b²}}^{}{\mathrm{x²}}^{}+{\mathrm{a²}}^{}{\mathrm{y²}}^{}=$$

$${=}^3{\mathrm{a²}}^{}{\mathrm{x²}}^{}+{\mathrm{b²}}^{}{\mathrm{y²}}^{}+2axyb+$$

$$+{\mathrm{b²}}^{}{\mathrm{x²}}^{}+{\mathrm{a²}}^{}{\mathrm{y²}}^{}-2axyb=$$

$${=}^4(ax{)²}^{}+(by{)²}^{}+2\left(ax\right)\left(by\right)+$$

$$+(bx{)²}^{}+(ay{)²}^{}-2\left(ay\right)\left(bx\right)=$$

$${=}^5(ax+by{)²}^{}+(ay-bx{)²}^{}$$

Dans la première égalité, nous avons développé le produit des sommes. Dans la deuxième égalité, nous avons interverti l’ordre des deuxième et quatrième compléments. Dans la troisième égalité, nous avons ajouté et soustrait 2axby. Cela n’affecte pas l’addition puisque l’addition et la soustraction d’un même nombre sont identiques à l’addition de 0. Ces termes correspondent aux troisième et sixième termes d’addition.

Dans la quatrième égalité, nous avons écrit des parenthèses autour de tous les termes pour rendre la forme de chacun des termes plus intuitive. Ainsi, la première ligne correspond au développement du produit d’une addition et la seconde à celui du produit d’une soustraction.

(a$${²}^{}$$-b$${²}^{}$$) (x$${²}^{}$$-y$${\mathrm{²)}}^{}$$=(a$${²}^{}$$-b$${\mathrm{²)\; (x²-y²)}}^{}$$

=(ax+by)$${\mathrm{²-(ay+bx)²}}^{}$$

Exemple:

$$({\mathrm{z²}}^{}-{\mathrm{2²}}^{})({\mathrm{z²}}^{}-{\mathrm{3²}}^{})=$$

$$=({\mathrm{z²}}^{}+6{)²}^{}-(3z+2z{)²}^{}$$

Nous avons identifié :  a = z , b = 2 , x = z , y = 3.

 

Quand apprend-on les identités remarquables ?

Le programme de maths au collège est divisé en 5 parties qui sont elles aussi divisées en sous parties. Les identités remarquables entrent dans le programme de maths de l’enseignement général dès la classe de 5ème ou 4ème. C’est en 3ème que les identités remarquables sont abordées plus en détails.

• Le nombres et calculs : double distributivité, factorisation grâce aux identités remarquables, résolution de problèmes, puissances de base quelconque d’exposants négatifs , notion de fraction irréductible, transformation d’expressions littérales, mises en équation, les racines carrées.
• L’organisation et la gestion de données et de fonctions : calculs d’effectifs et de fréquences , représentations graphiques de données statistiques, étendue, notions de variable, de fonction, etc.
• Les grandeurs et les mesures : conversion d’unités, effet des transformations sur les grandeurs, volume d’une boule.
• L’espace et la géométrie : théorème de Thalès, sections planes et solides, sinus et tangente dans le triangle rectangle, cosinus, repérage sur une sphère, homothétie.
• L’algorithmique et la programmation : écriture de scripts fonctionnant en parallèle, utilisation de boucles et d’instructions conditionnelles

 

En 3ème on fait donc une révision des identités remarquables et du développement. Une fois cette notion bien maîtrisée on apprend à factoriser à l’aide de ces dernières. L’acquisition de ces notions du programme de mathématiques sont primordiales pour aborder sereinement les classes supérieures.

Il est à préciser que les identités remarquables sont seulement à utiliser lorsque l’équation correspond à l’expression. Pour un développement simple, nul besoin de se compliquer la tête à trouver une expression mathématique équivalente.

Chaque enseignant ou professeur de maths a sa propre manière de transmettre et de permettre à leurs élèves de retenir ces égalités essentielles en Maths.

 

Comment justifier une identité remarquable ?

Pour justifier et démontrer la véracité des identités remarquables, voici quelques illustrations :

La première identité : (a+b)2 = (a+b) (a+b)

= a × a + a × b + b × a + b × b

= a2 + ab + ab + b2

= a2 + 2ab + b2

 

La seconde identité : (a-b)2 = (a-b) (a-b)

= a × a – a × b – b × a + b × b

= a2 – ab – ab + b2

= a2 – 2ab + b2

 

La troisième identité remarquable : (a+b) (a-b) = a × a – a × b – b × a – b × b

= a2 – ab + ab – b2

= a2 – b2

 

Comment factoriser une expression identité remarquable ?

Pour factoriser une expression d’identité remarquable, il faut juste inverser la formule. Prenons exemple :

Pour y2 + 10y + 25 = y2 + 2 × y × 5 + 52 = (y + 5)2

Bref, pour factoriser, il faut trouver l’identité remarquable correspondante afin de faire les calculs plus rapidement. Il est possible de trouver des exemples d’exercices en ligne pour pouvoir vous entrainer au développement et à la factorisation au quotidien.

à découvrir : Bien comprendre le cercle trigonométrique

Qu’est-ce qu’une fonction polynomiale ?

Les fonctions polynomiales sont des expressions qui peuvent contenir des variables de différents degrés, des coefficients, des exposants positifs et des constantes. » Voici quelques exemples de fonctions polynomiales.

f(x) = 3×2 – 5
g(x) = -7×3 + (1/2) x – 7
h(x) = 3×4 + 7×3 – 12×2

Degré d’une fonction polynomiale
Le degré d’une fonction polynomiale est la plus grande puissance de la variable à laquelle elle est élevée. Considérons cette fonction polynomiale f(x) = -7×3 + 6×2 + 11x – 19, l’exposant le plus élevé trouvé est 3 à partir de -7×3. Cela signifie que le degré de ce polynôme particulier est 3.

Remarques importantes sur les fonctions polynomiales

Voici une liste de quelques points dont il faut se souvenir lors de l’étude des fonctions polynomiales :

• Le degré de la fonction polynomiale est déterminé par la plus grande puissance de la variable à laquelle elle est élevée.

Les fonctions :

• constantes sont des fonctions polynomiales de degré 0,
• linéaires sont des fonctions polynomiales de degré 1,
• quadratiques sont des fonctions polynomiales de degré 2,
• cubiques sont des fonctions polynomiales de degré 3.

 

Les identités remarquables sont des expressions très utiles pour faire vos calculs et réussir vos examens de mathématiques aisément. En cas d’incompréhension ou de difficultés, n’hésitez pas à demander à votre professeur.

Les maths ne sont pas toujours difficiles, il faut juste savoir comment les appliquer

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